Les équations différentielles
Les équations différentielles
Il est souvent
pratique et utile, surtout en physique de représenter des équations
différentielles de modélisation d'un oscillateur par exemple. Malheureusement,
ces équations sont surtout d'ordre supérieur à l'ordre 1. La méthode à employer
se complique alors énormément. On ne peut en effet pas rentrer directement des
équations différentielles d'ordre supérieur à 1. dans l'écran Y=, on peut rentrer uniquement des équations de la forme
yn'(t)=f(yn(t)) où n est l'indice de la ligne. On définit ensuite la condition
initiale yin où n est le même indice. Pour cela, on utilise plusieurs lignes à la fois. Comment alors
progresser dans la hiérarchie des variables ? Pour une ligne d'indice n, on a
les variables yn et yn'. Pour la ligne n+1, on a logiquement yn+1 et
yn+1'.
Il faut utiliser une
démarche relativement scabreuse pour transformer une équation d'ordre n>1 en
n équations d'ordre 1, afin que la TI89 puisse l'afficher graphiquement.
L'écran de
saisie des équations.
Pour des équations, d'ordre supérieur
ou égal à 2, on a besoin de plus de variables. On va donc effectuer un transfert
de variables.
Le transfert de
variables.
Si on associe les deux lignes, on obtient ceci : prenons yn'=yn+1. On
obtient dans l'ordre croissant des dérivées : yn, yn'=yn+1 et yn+1'. Si on
enlève les indices, cela donne y, y' et y'' on a pu augmenter l'ordre de
un.
De cette méthode, on peut tirer le tableau suivant :
|
variable de l'équation : |
y |
y' |
y'' |
y''' |
y'''' |
|
Variable de substitution : |
y1 |
y1'=y2 |
y2'=y3 |
y3'=y4 |
y4'=y5 |
Observez bien le transfert de variables, c'est le principe de base de cette transformation de l'équation.
Saisie des équations.
L'illustration la
plus simple se fera avec un exemple.
Cet exemple est tiré du programme de
physique de Terminale S, au chapitre modélisation des systèmes oscillants. Le
cas traité est celui d'un oscillateur mécanique amorti (ressort
horizontal).
A l'issue du cours, on retient l'équation différentielle du
mouvement telle que
x'' + h/m . x'+k/m . x = 0
Transformons
l'équation :
|
x |
x' |
x'' |
|
y1 |
y1'=y2 |
y2' |
Passons à la
saisie.
Dans la première ligne (y1'(t)), saisir y2. L'égalité nécessaire au
transfert de variable est alors définie.
Dans la deuxième ligne, il suffit
alors de rentrer l'équation
x'' = - h/m . x' - k/m . x. Ce qui
donne avec les correspondances :
y2'(t) = - h/m . y2 - k/m . y1.
On définit
ensuite des valeurs pour h, k, et m et des conditions initiales. Ne sélectionner
que la dernière équation. Réglez les modes comme suit :
Si l'indicateur Champs
n'est pas sur CHPNAFF (le dernier choix), cela ne fonctionnera pas. Voilà ce
qu'on obtient :
N'est-ce pas beau !!!
Vous pouvez bien sûr généraliser la
méthode à des équations de n'importe quel ordre d'équations.