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:: Index » Forum scolaire - School forum » Concours - Prepas » une petite équation fonctionnelle (18 réponse(s))

./POST DE DEPART (post n°0) Marquer comme non lu.

mathiniste

Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 08:39

Membre: Maître Ultime

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Membre n°189

Inscrit le 12 avril 2004

Soit f: N->N une fonction strictement croissante. On suppose que pour tout entiers naturels p et q, on a f(p)*f(q)= f(pq) et f(2)=2.
Déterminez f

la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...

./Post n°1 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 10:01

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

Facile. f est l'identité.

Membre de l'équipe de TIGCC: http://tigcc.ticalc.org
Mainteneur du portage Linux/Unix de TIGCC: http://tigcc.ticalc.org/linux/
Membre de l'équipe de CalcForge: http://www.calcforge.org:70/

Participez à la reprise de Ti-Gen!

./Post n°2 Marquer comme non lu.

mathiniste

Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 13:11

Membre: Maître Ultime

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Membre n°189

Inscrit le 12 avril 2004

effectivement, mais prouve que c'est la seule fonction
-Edité le Dimanche 19 septembre 2004 à 13:11 par mathiniste-

la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...

./Post n°3 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 13:41

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

f(0) et f(1) sont définis par la croissance stricte.
f(2^n) est défini par f(2) et la multiplicativité.
Entre 2 puissances de 2, on utilise la croissance stricte pour prouver qu'il n'y a qu'une solution.
Or, tout entier de |N* se trouve entre 2 puissances de 2, donc on a fini.

./Post n°4 Marquer comme non lu.

mathiniste

Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 16:44

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Membre n°189

Inscrit le 12 avril 2004

parfait.
en voici une autre:

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) pour tout réel x,y. f est une fonction continue

la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...

./Post n°5 Marquer comme non lu.

verytourist

Ecrit le: Dimanche 3 octobre 2004 à 23:12

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Membre n°26

Inscrit le 02 février 2004

intuitivement, et après teste, f(x)=cosh(x), par contre ne me demande pas de prouver que c'est la seul fonction

-Edité le Dimanche 3 octobre 2004 à 23:15 par verytourist-

./Post n°6 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Dimanche 3 octobre 2004 à 23:40

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

Bon, voilà les indices que j'ai déjà trouvés.
Déjà, si y=0, on a f(x)+f(x)=2f(x)f(0). Donc, f(0)=1 ou f est la fonction constante 0. Le deuxième cas est trivial, étudions le premier.
Si x=0, on a f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y). Donc f est paire.
Soit x=y: f(2x)+f(0)=2f(x)². Donc f(2x)+1=2f(x)². Donc f>=-1 partout. Et si -1<=f(x)<=1, alors 0<=f(x)²<=1, donc -1<=f(2x)=2f(x)²-1<=1.

./Post n°7 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:09

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

J'ai aussi essayé de calculer f(4x) de 2 manières, mais je trouve la même chose (normal, sinon la solution serait racine d'un polynôme).

Soit y=2x:
f(3x)+f(-x)=2f(x)f(2x)
=> f(3x)=2f(x)f(2x)-f(x)=2f(x)(2f(x)²-1)-f(x)=4f(x)³-2f(x)-f(x)=4f(x)³-3f(x)

Soit y=3x:
f(4x)+f(-2x)=2f(x)f(3x)
=> f(4x)=2f(x)f(3x)-f(2x)=2f(x)(4f(x)³-3f(x))-(2f(x)²-1)=8f(x)^4-6f(x)²-2f(x)²+1=8f(x)^4-8f(x)²+1

Or f(4x)=(2f(2x)²-1)=(2(2f(x)²-1)²-1)=(2(4f(x)^4-4f(x)²+1)-1)=8f(x)^4-8f(x)²+1. Même chose...

./Post n°8 Marquer comme non lu.

verytourist

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:09

Membre: Titan

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Membre n°26

Inscrit le 02 février 2004

Après vérification, { A*cosh(x) | A ? C} (C: complexe, ?: appartien à ) est solution de l'équation.
Par contre, savoir si j'ai qu'une partie de la solution ou toute la solution..

./Post n°9 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:10

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

verytourist :
Après vérification, { A*cosh(x) | A ? C} (C: complexe, ?: appartien à ) est solution de l'équation.

Faux. Contre-exemple: 2cosh(x). A=0 ou A=1 obligatoirement. Mais je ne sais pas si ce sont toutes les solutions.
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 00:12 par Kevin Kofler-

./Post n°10 Marquer comme non lu.

verytourist

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:15

Membre: Titan

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Membre n°26

Inscrit le 02 février 2004

-oops, rien compris, désoler-
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 00:16 par verytourist-

./Post n°11 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:18

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

Tous les A différents de 0 et de 1 ne répondent pas à la condition nécessaire "f(0)=1 ou f est la fonction constante 0" (cf. post n°6) et sont donc faux.
Mais il pourrait y avoir une solution qui n'est pas multiple de cosh(x), mes conditions nécessaires ne suffisent pas encore pour les éliminer toutes.

./Post n°12 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:20

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

Autre condition nécessaire découlant de f(2x)+1=2f(x)²: Si f(x)>1, alors f(x)²>1, donc f(2x)=2f(x)²-1>1. Et aussi f(x)²>f(x)>1, donc f(2x)>f(x)+1-1=f(x).
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 00:22 par Kevin Kofler-

./Post n°13 Marquer comme non lu.

verytourist

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:26

Membre: Titan

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Inscrit le 02 février 2004

Oui, effectivement, je m'était un peu gouré dans la vérif, j'avais oublier la constante sur le f(x) à droite...
( sa fesait donc ( f(x+y)+f(x-y) )/2*f(y) = cosh(x) , et la mes solutions marchent

)

./Post n°14 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:28

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

Et si f(x)>1, alors f(x/2) découle de manière unique de f(x): ((f(x)+1)/2)^(1/2)/2>(2/2)^(1/2)=1, donc la solution négative est en contradiction avec la condition nécessaire f(x)>-1 partout.

D'ailleurs, une deuxième solution triviale est la fonction constante f=1. 1+1=2*1*1.

./Post n°15 Marquer comme non lu.

verytourist

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:38

Membre: Titan

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Membre n°26

Inscrit le 02 février 2004

Donc, comme solutions constante, il y a uniquement 0 et 1 ( 2*a²=2a ), comme fonctions classiques, je ne pense pas qu'il y ai d'autre siolutions que cosh(x)

./Post n°16 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 04:28

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Inscrit le 08 février 2004

Bah, si tu peux montrer que (par exemple), si f n'est pas constant, f(1)=cosh(1), alors avec mon travail, on a presque gagné. (Il y a un argument de continuité à apporter aussi.)
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 04:28 par Kevin Kofler-

./Post n°17 Marquer comme non lu.

mathiniste

Ecrit le: Mardi 5 octobre 2004 à 17:02

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Membre n°189

Inscrit le 12 avril 2004

tres bon travail

la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...

./Post n°18 Marquer comme non lu.

Kevin Kofler

Ecrit le: Mardi 5 octobre 2004 à 19:50

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Membre n°40

Inscrit le 08 février 2004

Ensuite:
f est continue => lim(x->0) f(x) existe et vaut f(0)=1.

Étudions pour un x0 fixe la suite (f(x0), f(x0/2), f(x0/4), ...). La limite de cette suite est 1. Si la suite converge vers 1, il existe un N tel que f(x0/2^n)>0 pour tout n>=N. Soit x1=x0/2^N.

On obtient ainsi la suite (un)=(f(x1), f(x1/2), f(x1/4), ...). Cette suite est définie par la relation de récurrence u(n+1)=((un+1)/2)^(1/2).