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./POST DE DEPART (post n°0)   Marquer comme non lu.
mathiniste Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 08:39 Déconnecté(e)    Voir le profil de mathiniste Envoyer un email à mathiniste Envoyer un message privé à mathiniste  

Soit f: N->N une fonction strictement croissante. On suppose que pour tout entiers naturels p et q, on a f(p)*f(q)= f(pq) et f(2)=2.
Déterminez f
la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...
    
./Post n°1   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 10:01 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


Facile. f est l'identité.
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mathiniste Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 13:11 Déconnecté(e)    Voir le profil de mathiniste Envoyer un email à mathiniste Envoyer un message privé à mathiniste  

effectivement, mais prouve que c'est la seule fonction
-Edité le Dimanche 19 septembre 2004 à 13:11 par mathiniste-
la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...
    
./Post n°3   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 13:41 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


f(0) et f(1) sont définis par la croissance stricte.
f(2^n) est défini par f(2) et la multiplicativité.
Entre 2 puissances de 2, on utilise la croissance stricte pour prouver qu'il n'y a qu'une solution.
Or, tout entier de |N* se trouve entre 2 puissances de 2, donc on a fini.
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mathiniste Ecrit le: Dimanche 19 septembre 2004 à 16:44 Déconnecté(e)    Voir le profil de mathiniste Envoyer un email à mathiniste Envoyer un message privé à mathiniste  

parfait.
en voici une autre:

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) pour tout réel x,y. f est une fonction continue
la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...
    
./Post n°5   Marquer comme non lu.
verytourist Ecrit le: Dimanche 3 octobre 2004 à 23:12 Déconnecté(e)    Voir le profil de verytourist Envoyer un email à verytourist Envoyer un message privé à verytourist  

intuitivement, et après teste, f(x)=cosh(x), par contre ne me demande pas de prouver que c'est la seul fonction %)
-Edité le Dimanche 3 octobre 2004 à 23:15 par verytourist-
    
./Post n°6   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Dimanche 3 octobre 2004 à 23:40 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


Bon, voilà les indices que j'ai déjà trouvés.
Déjà, si y=0, on a f(x)+f(x)=2f(x)f(0). Donc, f(0)=1 ou f est la fonction constante 0. Le deuxième cas est trivial, étudions le premier.
Si x=0, on a f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y). Donc f est paire.
Soit x=y: f(2x)+f(0)=2f(x)². Donc f(2x)+1=2f(x)². Donc f>=-1 partout. Et si -1<=f(x)<=1, alors 0<=f(x)²<=1, donc -1<=f(2x)=2f(x)²-1<=1.
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./Post n°7   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:09 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


J'ai aussi essayé de calculer f(4x) de 2 manières, mais je trouve la même chose (normal, sinon la solution serait racine d'un polynôme).

Soit y=2x:
f(3x)+f(-x)=2f(x)f(2x)
=> f(3x)=2f(x)f(2x)-f(x)=2f(x)(2f(x)²-1)-f(x)=4f(x)³-2f(x)-f(x)=4f(x)³-3f(x)

Soit y=3x:
f(4x)+f(-2x)=2f(x)f(3x)
=> f(4x)=2f(x)f(3x)-f(2x)=2f(x)(4f(x)³-3f(x))-(2f(x)²-1)=8f(x)^4-6f(x)²-2f(x)²+1=8f(x)^4-8f(x)²+1

Or f(4x)=(2f(2x)²-1)=(2(2f(x)²-1)²-1)=(2(4f(x)^4-4f(x)²+1)-1)=8f(x)^4-8f(x)²+1. Même chose...
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./Post n°8   Marquer comme non lu.
verytourist Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:09 Déconnecté(e)    Voir le profil de verytourist Envoyer un email à verytourist Envoyer un message privé à verytourist  

Après vérification, { A*cosh(x) | A ? C} (C: complexe, ?: appartien à ) est solution de l'équation.
Par contre, savoir si j'ai qu'une partie de la solution ou toute la solution..
    
./Post n°9   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:10 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


verytourist :
Après vérification, { A*cosh(x) | A ? C} (C: complexe, ?: appartien à ) est solution de l'équation.

Faux. Contre-exemple: 2cosh(x). A=0 ou A=1 obligatoirement. Mais je ne sais pas si ce sont toutes les solutions.
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 00:12 par Kevin Kofler-
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./Post n°10   Marquer comme non lu.
verytourist Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:15 Déconnecté(e)    Voir le profil de verytourist Envoyer un email à verytourist Envoyer un message privé à verytourist  

-oops, rien compris, désoler-
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 00:16 par verytourist-
    
./Post n°11   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:18 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


Tous les A différents de 0 et de 1 ne répondent pas à la condition nécessaire "f(0)=1 ou f est la fonction constante 0" (cf. post n°6) et sont donc faux.
Mais il pourrait y avoir une solution qui n'est pas multiple de cosh(x), mes conditions nécessaires ne suffisent pas encore pour les éliminer toutes.
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./Post n°12   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:20 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


Autre condition nécessaire découlant de f(2x)+1=2f(x)²: Si f(x)>1, alors f(x)²>1, donc f(2x)=2f(x)²-1>1. Et aussi f(x)²>f(x)>1, donc f(2x)>f(x)+1-1=f(x).
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 00:22 par Kevin Kofler-
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./Post n°13   Marquer comme non lu.
verytourist Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:26 Déconnecté(e)    Voir le profil de verytourist Envoyer un email à verytourist Envoyer un message privé à verytourist  

Oui, effectivement, je m'était un peu gouré dans la vérif, j'avais oublier la constante sur le f(x) à droite...
( sa fesait donc ( f(x+y)+f(x-y) )/2*f(y) = cosh(x) , et la mes solutions marchent %) )
    
./Post n°14   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:28 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


Et si f(x)>1, alors f(x/2) découle de manière unique de f(x): ((f(x)+1)/2)^(1/2)/2>(2/2)^(1/2)=1, donc la solution négative est en contradiction avec la condition nécessaire f(x)>-1 partout.

D'ailleurs, une deuxième solution triviale est la fonction constante f=1. 1+1=2*1*1.
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./Post n°15   Marquer comme non lu.
verytourist Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 00:38 Déconnecté(e)    Voir le profil de verytourist Envoyer un email à verytourist Envoyer un message privé à verytourist  

Donc, comme solutions constante, il y a uniquement 0 et 1 ( 2*a²=2a ), comme fonctions classiques, je ne pense pas qu'il y ai d'autre siolutions que cosh(x)
    
./Post n°16   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Lundi 4 octobre 2004 à 04:28 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


Bah, si tu peux montrer que (par exemple), si f n'est pas constant, f(1)=cosh(1), alors avec mon travail, on a presque gagné. (Il y a un argument de continuité à apporter aussi.)
-Edité le Lundi 4 octobre 2004 à 04:28 par Kevin Kofler-
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./Post n°17   Marquer comme non lu.
mathiniste Ecrit le: Mardi 5 octobre 2004 à 17:02 Déconnecté(e)    Voir le profil de mathiniste Envoyer un email à mathiniste Envoyer un message privé à mathiniste  

tres bon travail ;)
la mort n'a aucun rapport avec nous.Quand nous sommes vivants, la mort n'est pas là et quand elle est là, nous ne sommes plus...
    
./Post n°18   Marquer comme non lu.
Kevin Kofler Ecrit le: Mardi 5 octobre 2004 à 19:50 Déconnecté(e)    Voir le profil de Kevin Kofler Envoyer un email à Kevin Kofler Visiter le site WEB de Kevin Kofler Envoyer un message privé à Kevin Kofler  


Ensuite:
f est continue => lim(x->0) f(x) existe et vaut f(0)=1.

Étudions pour un x0 fixe la suite (f(x0), f(x0/2), f(x0/4), ...). La limite de cette suite est 1. Si la suite converge vers 1, il existe un N tel que f(x0/2^n)>0 pour tout n>=N. Soit x1=x0/2^N.

On obtient ainsi la suite (un)=(f(x1), f(x1/2), f(x1/4), ...). Cette suite est définie par la relation de récurrence u(n+1)=((un+1)/2)^(1/2).
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